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可分離的微分方程、齊次微分方程、齊次一階線性微分方程、非齊次一階線性微分方程。

可分離的微分方程：

齊次微分方程：

齊次一階線性微分方程：

齊次一階線性微分方程：

直角坐標系下二重積分與極坐標下的二重積分，直角坐標系下二重積分分兩種：一種是是X型。一種是Y型。

X型：設積分區域D：a≤x≤b，φ1(x)≤y≤φ2(x)，如圖所示，φ1(x)，φ2(x)在區間[a, b]上連續。

Y型：設積分區域D：c≤y≤d，?1(y)≤y≤?2(y)，如圖所示，?1(x)，?2(x)在區間[c, d]上連續。

極坐標下的二重積分：由極坐標變換，設x=rcosθ，y=rsinθ，若積分區域D，則：

①如果積分區域D關于x軸對稱，則

其中D1為D的上半平面的部分。

②如果積分區域D關于y軸對稱，則

其中D2為D載右半平面的部分

③如果積分區域D關于y=x對稱，則

④如果積分區域D1，D2關于直線y=x對稱，則

⑤如果積分區域D關于直線y=x對稱，則

二元函數f(x,y)極值存在的必要條件：設函數f(x,y)在點(x0,y0)處偏導數存在，且在點(x0,y0)處取得極值，則f'x(x0,y0)=0, f'y(x0,y0)=0。

二元函數極值的求解方法：先f(x,y)對x，y分別求出偏導并令他們等于0

（1）AC-B2＞0時，極值存在，且當A＜0時有極大值，當A＞0時有極小值。

（2）AC-B2＜0時，極值不存在。

用拉格朗日法：

首先，構造拉格朗日函數F(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y)，

性質1 f(x)在區間[a, b]上可積的必要條件是f(x)在區間[a, b]上有界。

性質2 f(x)可積的充分條件有如下三個：

（i）若f(x)在區間[a, b]上連續，則f(x)在[a, b]上可積

（ii）若f(x)在區間[a, b]上有界，除有限個間斷點外函數連續，則f(x)在[a, b]上可積

（iii）若f(x)在區間[a, b]上單調，則f(x)在[a, b]上可積。

費馬定理：設函數y=f(x)在點x0的某領域U(x0)內有定義，且在x0處可導，若對任一x∈U(x0)，有f(x)≤f(x0)或f(x)≥f(x0)，則f’(x0)=0。

羅爾定理：設函數y=f(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間（a，b）內可導，且f(a)=f(b)，則至少存在一點ξ∈（a，b），使得f’(ξ)=0。

拉格朗日中值定理：設函數y=f(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間（a，b）內可導，則至少存在一點ξ∈（a，b），使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)。

柯西中值定理：設函數f(x)，g(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間（a，b）內可導，且對任一x∈（a，b），g’(x)≠0，則至少存在一點ξ∈（a，b），使得。

零點定理：設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，且f(a)與 f(b)異號（即f(a)× f(b)<0），那么在開區間（a,b）內至少有函數f(x)的一個零點，即至少有一點ξ（a<ξ<b）使f(ξ)=0。

介值定理：設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，且在這區間的端點取不同的函數值，f(a)=A及f(b)=B，那么，對于A與B之間的任意一個數C，在開區間(a,b)內至少有一點ξ，使得f(ξ)=C (a<ξ<b)。

泰勒定理：設函數y=f(x)在閉區間[a，b]上有連續的n階倒數，在開區間（a，b）內有n+1階倒數，則對任一x∈（a，b），有

第一種判定方法：設函數y=f(x)在x0處連續，且在x0的某去心領域U（x0，δ）內可導

（1）若當x∈（x0-δ，x0）時，f’(x)>0，而當x∈（x0，x0+δ）時，f’(x)<0，則f(x)在x0處取得極大值.

（2）若當x∈（x0-δ，x0）時，f’(x)<0，而當x∈（x0，x0+δ）時，f’(x)>0，則f(x)在x0處取得極小值.

（3）若當x∈U（x0，δ）時，f’(x)符號保持不變，則f(x)在x0處無極值.

第二種判定方法：設函數y=f(x)在x0處有二階導數且f’(x0)=0，f”(x)≠0，則

（1）當f”(x)<0時，函數y=f(x)在x0處取得極大值

（2）當f”(x)>0時，函數y=f(x)在x0處取得極小值

設函數y=f(x)在[a，b]上連續，在（a，b）內有一階和二階導數，則

（1）若在（a，b）內f”(x)>0，則函數y=f(x)在[a，b]上的圖形是凹的

（2）若在（a，b）內f”(x)<0，則函數y=f(x)在[a，b]上的圖形是凸的

常見的初等函數的n階導數公式：